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Matematica e Musica
tra frattali e note musicali

da un'idea di:
Lucio Cadeddu
Docente di Analisi Matematica - Dip. di Matematica di Cagliari
e
Ettore Carta
Direttore d'orchestra e compositore

Le figure più semplici da ottenere sono:

Curva di Koch
Fiocco di neve di Koch

E' chiaro dalla costruzione che la lunghezza della Curva di Koch aumenta di 4/3 ad ogni "iterazione". Conseguentemente si può pensare che, iterando il procedimento all'infinito, la distanza tra due punti qualsiasi sulla curva è comunque INFINITA.

Dalla formula che fornisce la DIMENSIONE D = [log (N)]/ log (1/r(N)) si ottiene

D = (log 4)/log 3 ~ 1,26...

N = numero delle "parti", r(N) = rapporto di omotetia.

Nel caso della curva di Koch N = 4 e r(N) = 1/3

"Guarnizione" di Sierpinski



Pattern di Apollonio

Il passaggio da queste figure geometricamente semplici ad altre più interessanti richiede l'ausilio di una costruzione matematica di tipo iterativo più complessa.
Il primo esempio di insieme frattale e certamente quello più noto e' quello dovuto a Mandelbrot, al quale è dedicata la slide successiva.
L'insieme M di Mandelbrot


L'insieme di Mandelbrot è la parte interna della figura qui sopra. E' definito matematicamente come segue:
Un punto c del piano complesso C appartiene all'insieme di Mandelbrot se la successione definita ricorsivamente da zn+1 = (zn)2 + c è non divergente (punto iniziale z0 = 0)
La frontiera di questo insieme è una curva frattale.
L'autosimilarità tipica delle figure frattali è qui più ricca che nella curva di Koch. Infatti per successive "zoomate" si ritrovano costruzioni simili ma non identiche. I diversi colori attribuiti ai punti del piano sono in diretta corrispondenza con il numero di iterazioni per le quali la successione diverge. Tutta la costruzione può essere fatta al calcolatore con un semplice programma in C, Pascal, Qbasic o altri linguaggi.
 The Fractal Microscope può essere di grande aiuto nella comprensione della struttura di un oggetto frattale.

Matematica e Natura


Che la Natura sia scritta e disegnata con leggi matematica non è certo un fatto nuovo e già Galileo ne faceva il punto cardine della sua visione dell'Universo.
È sufficiente guardarsi intorno per scoprire quante entità "autosimili" siano presenti nel nostro mondo: un cavolfiore e le sue infiorescenze, una nuvola, le coste di un'isola, alcuni organi del corpo umano etc.
Da sempre l'Arte ha cercato di fornire una "rappresentazione" della Natura mediata attraverso la visione antropocentrica. Non deve sorprendere dunque che l'uso di strutture autosimili sia così diffuso in varie aree della creazione artistica.

Matematica e Arte

Le relazioni tra Arte e Matematica sono sempre state strettissime, sin dai tempi dei Greci (uso del rapporto aureo), passando per Leonardo da Vinci ed il pittore Escher fino ad esplorare e contaminare la Letteratura, il Cinema e la Musica.
Nella letteratura grazie alla composizione algoritmica di poesie, nel Cinema grazie alla sintassi dinamica del cinema muto.
La Musica non fa eccezione ed il concetto di "autosimilarità" è ben noto ed usato da molti compositori, il più celebre dei quali è senz'altro Bach. Un esempio classico sono le celebri Variazioni Goldberg.

Bibliografia essenziale:
  • D.R. Hofstadter "Godel, Escher e Bach: un'Eterna Ghirlanda Brillante" - Ed. Adelphi
  • B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - Freeman
  • B. Mandelbrot "Gli oggetti frattali" - Einaudi
  • S.D. Yadegari "Self-similar Synthesis - On the Border between Sound and Music" Tesi MIT '92
  • U. Michels "Atlante di Musica" - Sperling & Kupfer
  • M. Minsky "La società della mente" - Ed. Adelphi