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Mettiamo sul fuoco una pentola con dell'acqua e, quando l'acqua bolle,
prendiamo dal frigo gli gnocchi e buttiamoli dentro. La temperatura degli
gnocchi deve passare da quella del frigo ai cento gradi dell'acqua
bollente, e per far questo impiega un po' di tempo.
La domanda è: se lo gnocco è convesso, le superfici di livello di u lo sono anch'esse? La risposta è affermativa, e discende da un teorema di Brascamp e Lieb del 1976. È importante osservare che, dal punto di vista matematico, sono analoghi al problema degli gnocchi anche altri problemi riguardanti la conduzione del calore, e più in generale vari fenomeni di diffusione come ad esempio la diffusione di un liquido inquinante nel terreno, oppure quella delle molecole di una certa sostanza chimica all'interno di un solvente. Sono analoghi nel senso che le equazioni differenziali che li descrivono sono dello stesso tipo, e vengono dette equazioni paraboliche. Dunque l'importanza del teorema di Brascamp e Lieb va ben al di là di un piatto di gnocchi. Del resto gli gnocchi, di solito, non sono convessi... |
Durante questo tempo la temperatura all'interno di un dato gnocco è
una funzione (non costante) u(x,y,z,t) del tempo t e
delle coordinate (x,y,z) del punto. Se fissiamo l'attenzione su
tutti i punti di un dato gnocco che, in un dato istante t, si
trovano alla medesima temperatura, otteniamo quella che si chiama
superficie di livello della funzione u.
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