Stellarità

Le armature di un condensatore sferico sono due sfere concentriche. Le superfici equipotenziali all'interno di un condensatore sferico (che supponiamo, per semplicità, vuoto all'interno) sono anch'esse delle sfere. Infatti è possibile calcolare esplicitamente il potenziale elettrostatico nei punti interni del condensatore e verificare che esso è rappresentato da una funzione a simmetria radiale. Cosa succede se il condensatore non è sferico? Ad esempio, pensiamo ad un condensatore avente la forma di un anello (strettamente) stellato, il che avviene quando esiste un punto O, per così dire centrale, tale che ogni semiretta uscente da esso interseca un'unica volta ciascuna delle armature. Ebbene, le superfici equipotenziali ereditano questa proprietà geometrica, cioè ogni semiretta uscente da O le interseca in un solo punto. Simili proprietà di stellarità si ritrovano anche in situazioni che, anche dal punto di vista matematico, sono un po' diverse da quella del condensatore. Un caso notevole, ad esempio, è quello delle superfici di area minima. Le superfici di area minima si ritrovano in natura, ad esempio, nella forma assunta dal liquido che si usa per fare le bolle di sapone. Infatti la pellicola di acqua e sapone tende a ridurre il più possibile la propria estensione. Questa proprietà è stata sfruttata da Plateau nel secolo XIX per svolgere delle ricerche su tali superfici. Questo schizzo, disegnato a mano e puramente indicativo, vuole esprimere una particolare proprietà delle superfici di area minima: se si assegnano due curve chiuse orizzontali, come quella rossa e quella blu nel disegno, una più piccola e una più grande, poste a due quote diverse ma stellate rispetto ad uno stesso asse verticale, allora le linee di livello (evidenziate in viola) della superficie di area minima che si appoggia alle due curve sono stellate rispetto allo stesso asse.