Il principio del massimo

Le funzioni armoniche sono moltissime e si ritrovano in varie situazioni. Alcuni esempi: Il potenziale gravitazionale newtoniano nel vuoto Il potenziale elettrostatico nel vuoto Qualunque polinomio di primo grado Le funzioni costanti La funzione 1/r (in R3 \ {O}, r = distanza da O) La funzione x2-y2 Di solito, la funzione armonica che ci interessa non si può esprimere esplicitamente. Non c'è nulla di strano in questo, se si pensa che, del resto, l'insieme di tutte le funzioni è enorme, mentre quelle che possiamo scrivere esplicitamente ne rappresentano soltanto una minima parte. In compenso, però, le funzioni armoniche possiedono varie notevoli proprietà, che ci aiutano a conoscerle meglio. Tra queste, il cosiddetto principio del massimo si rivela particolarmente utile per lo studio matematico di problemi del tipo di quelli illustrati nelle pagine precedenti: Principio del massimo: una funzione armonica in un dominio limitato assume il valore massimo sul contorno. Analogamente, vale il principio del minimo: una funzione armonica in un dominio limitato assume il valore minimo sul contorno. In pratica, i due principî messi insieme ci dicono che il potenziale elettrostatico all'interno di un condensatore assume valori intermedi a quelli delle armature, il che è plausibile anche dal punto di vista intuitivo.