Il principio del massimo si può dimostrare con un artificio descritto da E. Hopf nel 1927, e che si può trovare nel libro di Protter e Weinberger citato in bibliografia. Qui ci limitiamo a richiamare il fatto che, in un punto di massimo (interno), le derivate seconde di una funzione u sono (se esistono) minori o uguali a zero, e quindi anche la loro somma (che è il delta di u) è minore o uguale a zero in quel punto. Se dunque una funzione u è, come si suol dire, subarmonica, cioè soddisfa la disuguaglianza non è possibile che abbia punti di massimo interni e quindi deve averli (se ne esistono) sul contorno. Analogamente si capisce che se una funzione u è superarmonica, cioè soddisfa la disuguaglianza opposta alla precedente, essa non può avere punti di minimo interni. Mediante l'artificio di Hopf si può dimostrare che le funzioni armoniche hanno quasi entrambe queste proprietà, nel senso che possono avere un massimo od un minimo interno solo se si tratta di funzioni costanti, cioè funzioni per le quali tutti i punti sono di massimo e di minimo. Per la verità alla stessa conclusione si può arrivare anche per altra strada, e cioè partendo da un'altra notevolissima proprietà delle funzioni armoniche, espressa dal teorema della media: il valore di una funzione armonica in un punto (interno) è uguale alla media (integrale) dei suoi valori in una qualunque sfera centrata in quel punto. Che si considerino sfere piene o solo superfici sferiche, il teorema della media vale lo stesso. Dal teorema della media si deduce immediatamente che non possono esservi punti di estremo stretto interni. Il vantaggio del metodo di Hopf però consiste nel fatto di essere applicabile anche ad equazioni più generali di quella di Laplace, come ad esempio all'equazione delle superfici minime, mentre la proprietà della media è una peculiarità delle funzioni armoniche. Si dimostra infatti che se una funzione ha la proprietà espressa dal teorema della media, allora è armonica.