Programma di Fondamenti Analisi Superiore 2

Spazi metrici. Teorema delle contrazioni. Teorema di Arzela’. Problema di Cauchy in piccolo e in grande:  teoremi di esistenza e di unicita’.

Equazioni alle derivate parziali lineari del primo ordine. Equazione caratteristica. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy.

Equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine, vari esempi fisici e classificazione. Esempio di problema mal posto.

Equazioni ellittiche: principio di massimo. Problema di Dirichlet: esistenza, unicita’ e dipendenza continua dai dati. Risoluzione numerica.

Equazioni iperboliche speciali: equazione caratteristica. Equazione delle onde e risoluzione del relativo problema di Cauchy, problema della corda fissa agli estremi, studio della propagazione delle onde.

Equazioni paraboliche: principio di massimo. Problema di Cauchy-Dirichlet: esistenza, unicita’ e dipendenza continua dai dati. Risoluzione numerica.

Nozioni essenziali sugli spazi L^p. Derivate deboli e forti: definizione e proprieta’. Definizione degli spazi di Sobolev. Teoremi di Poincare’, di Sobolev e di Rellich.

Spazi di Hilbert. Teorema della debole compattezza. Teorema di Riesz. Equazioni alle derivate parziali. Soluzioni deboli di un’equazione ellittica. Lemma di Lax-Milgram. Esistenza e unicita’ delle soluzioni deboli.

Minimo di un funzionale e suo legame con le soluzioni deboli della corrispondente equazione di Eulero. Studio delle proprieta’ qualitative delle soluzioni di particolari equazioni semilineari.

Testo per preparare l’esame: Dispense del docente