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Indice Premesse. Quando, qualche anno fa, ricevetti la mia prima pagella, con la quale gli studenti di un corso da me tenuto esprimevano il proprio giudizio sulle modalità di svolgimento del corso stesso, dovetti constatare che essi avevano risposto in modo negativo alla domanda: “Dà indicazioni su come affrontare lo studio della disciplina?” In effetti, non mi ero neanche posto il problema di dare questo tipo di indicazioni. E poiché il brutto voto mi dava fastidio, mi chiesi come potevo evitare che la stessa cosa si ripetesse l'anno successivo. Fu così che misi mano alla prima stesura di queste note (e i miei voti migliorarono...). Questa non è certo l'unica fonte di informazioni su come studiare. Altre informazioni sull'argomento si possono trovare, ad esempio, sulla rete internet. Buono studio.
Obiettivo principale dello studio. L'obiettivo principale nello studio della matematica è quello di impossessarsi e di far proprio ciò che si studia. Intendo dire che (almeno una parte di) quello che si studia deve essere assimilato profondamente, allo stesso livello delle nostre più profonde e personali convinzioni. Inoltre, è importante non soltanto la descrizione pura e semplice di qualcosa, ma anche la capacità di usare in pratica ciò che si è studiato, quando se ne presenta l'occasione.
Il gusto della matematica. Il gusto della matematica è importante perché è una delle motivazioni allo studio, insieme al bisogno. La motivazione è quella che ti fa investire molte energie, che ti fa affrontare la fatica e ti fa superare gli incidenti di percorso. La soddisfazione di risolvere un enigma, e di capire una cosa, ti ricompensa della fatica fatta e ti spinge ad affrontare nuove sfide. Vi auguro di poter studiare il più possibile per il gusto di farlo, e di essere solo di rado costretti a farlo dal bisogno.
La matematica come linguaggio. La matematica può essere usata come un valido linguaggio per esprimere con precisione certi concetti. Gli studenti di qualunque corso di laurea, che hanno a che fare con la matematica, traggono vantaggio da:
Spesso riceviamo delle informazioni che contengono alcune parti formulate nel linguaggio della matematica. Esse ci provengono da colleghi di studio, colleghi di lavoro, altri professionisti, docenti, testi universitari, documenti di lavoro. Spesso siamo costretti a saltare quelle parti perché non le sappiamo interpretare. Lo studio della matematica deve servire a non dover più rinunciare a queste informazioni. Una volta assimilato il linguaggio della matematica, potremo anche noi servircene per esprimere le nostre idee con la brevità e la precisione che sono tipiche di questo linguaggio.
La matematica come strumento. La matematica si rivela un utile strumento per risolvere dei problemi. Per poterla usare in questo senso, occorre:
Per spiegare questi concetti, comincio con l'osservare che “per lavarsi non c'è bisogno di essere un idraulico”. Tutti, infatti, ci laviamo, ma soltanto alcuni di noi saprebbero cambiare un rubinetto. Allo stesso modo, non c'è bisogno di conoscere a fondo la matematica per servirsi di tutti quei prodotti della tecnologia che funzionano grazie ad essa. Tuttavia, ci si può trovare nella necessità di escogitare dei piccoli o grandi adattamenti, o delle nuove soluzioni, insomma non solo “lavarsi”, ma anche “cambiare il rubinetto”. E per riuscire a servirsi della matematica fino a questo livello occorre conoscere bene il perché delle cose.
Informazione e deduzione. È importante sapere che la matematica è fatta di informazione e di deduzione. Ad esempio, quando studiamo che in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (teorema di Pitagora), riceviamo una informazione. Gran parte dello studio è rappresentata dall'acquisizione di informazioni. Ma la matematica ha una caratteristica particolare. Infatti il suo studio, oltre a richiedere l'assimilazione di una grande quantità di informazioni, offre molto spesso la possibilità di fare delle deduzioni. Ad esempio, partendo da ipotesi opportune e facendo delle deduzioni, possiamo arrivare a concludere che in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Vi sembra la stessa cosa di prima? Ebbene, la differenza è che nel primo caso noi prendiamo il teorema di Pitagora come una informazione che ci viene dal docente o dal libro, mentre nel secondo caso noi arriviamo al teorema di Pitagora facendo un ragionamento, una deduzione.
Falsi obiettivi. Dopo l'elenco degli obiettivi dello studio è bene discutere, per contrasto, i principali falsi obiettivi, cioè cose che spesso vengono considerate come obiettivi, ma che invece non lo sono o non dovrebbero esserlo.
Astrazione e applicazioni. La matematica rende possibili molte importanti realizzazioni pratiche. Inoltre, vengono studiate anche delle questioni che non servono a risolvere alcun problema pratico. Per la verità, può capitare che una questione che oggi non è legata ad applicazioni lo sia domani. Ad esempio, in aerofotogrammetria (misurazioni basate su foto prese dagli aerei) si utilizzano anche delle nozioni di geometria euclidea, e ovviamente al tempo di Euclide l'aereo non esisteva. Viceversa, alcuni dei concetti astratti della matematica sono suggeriti da cose concrete. È bene sapere che alcuni matematici, che prediligono le applicazioni, accusano gli altri di essere dei perditempo, mentre altri, che preferiscono l'astrazione, accusano i primi di tradire lo spirito puramente deduttivo della disciplina. Personalmente, ritengo che la contrapposizione tra le due componenti sia dovuta allo scontro tra interessi materiali e non culturali.
L'impenetrabilità della matematica. Non capisco bene per quale motivo molti testi di matematica siano così impenetrabili, ma posso avanzare qualche congettura.
I settori scientifico-disciplinari. Ogni docente o ricercatore universitario afferisce ad un ben preciso settore scientifico-disciplinare. In particolare, quando un'università vuole assumere dei nuovi docenti o ricercatori, essa deve anche decidere come ripartire il proprio denaro fra i vari settori. Tali settori ammontano a diverse decine, ed il loro elenco aggiornato si può trovare sul sito internet del Ministero. Tramite lo stesso sito è anche possibile sapere a quale settore afferisce un dato docente. La seguente tabella riporta, a titolo di esempio, alcuni dei settori che riguardano la matematica:
Senza dubbio i settori scientifico-disciplinari rispondono a comprensibili necessità organizzative, e riflettono differenze realmente esistenti nell'ambito della matematica. Tuttavia la necessità di ripartire i fondi fra i settori può favorire la formazione di fazioni contrapposte, tracciando in modo netto dei confini che sul piano culturale sono invece sfumati.
Le origini della matematica. Non è mia intenzione scrivere la parola fine sulla controversa questione delle origini della matematica, ma soltanto avvertire il lettore che il dibattito su di essa può essere l'espressione di un conflitto che ha altre motivazioni. Euclide, ed altri personaggi che vissero nello stesso periodo storico e nello stesso ambito geografico, hanno dato significativi contributi alla matematica, ed hanno fatto emergere con particolare rilievo l'aspetto deduttivo della disciplina. Sottolineare l'importanza dell'opera di Euclide, collocando in essa le origini stesse della matematica, e considerarsi gli eredi naturali di tale opera, può essere il modo attraverso il quale alcuni matematici sostengono la propria superiorità rispetto agli altri. Allo stesso tempo, altri matematici moderni, soprattutto non europei, rivendicano l'importanza dell'opera di altri matematici antichi, estranei alla cultura greca, dei quali si considerano gli eredi. La questione è oggi particolarmente attuale in quanto è il riflesso della crescente importanza che alcune popolazioni non europee, in particolare africane e asiatiche, vanno assumendo sulla scena mondiale.
Come studiare? L'ingrediente di base per studiare bene la matematica è essere critici, cioè usare attivamente e liberamente la propria capacità di ragionare. Su questa indispensabile base si possono innestare le tecniche seguenti.
Libro contro Docente. È difficile dire se il libro batte il docente, o viceversa. Questi due strumenti che lo studente ha a disposizione hanno ciascuno pregi e difetti.
I libri: corsi o trattati? Semplificando un po' le cose, si può dire che una delle differenze tra i libri di scuola e i testi universitari, che contribuisce a rendere difficile l'ingresso dei neo-diplomati nell'università, è che i primi sono strutturati come dei corsi, mentre i secondi sono piuttosto dei trattati. Che vuol dire?
È importante, in definitiva, non pretendere che un testo universitario ci porti gradualmente verso delle nuove conoscenze: molto probabilmente, non è stato scritto con questa preoccupazione. Il testo universitario va usato piuttosto come un archivio, all'interno del quale, saltando da un punto all'altro, dobbiamo essere noi a reperire quello che di volta in volta ci interessa.
Gli errori da non commettere. Il re di tutti gli errori è spegnere il cervello, cioè disattivare il proprio senso critico, rifiutarsi di ragionare e ascoltare passivamente le lezioni. Altri errori frequenti sono:
Sì, ma in pratica? Ecco uno schema da seguire per lo studio di un argomento di matematica. Ponetevi queste domande e cercate le risposte, anche con l'aiuto del docente.
Come studiare la teoria. Il problema. Poco dopo l'esame, molti studenti dimenticano la maggior parte delle nozioni che hanno studiato. Di conseguenza, si trovano in difficoltà nel caso in cui qualcuna di esse serva di nuovo per un esame successivo. Inoltre, non possono neanche utilizzarle al di fuori del corso di laurea. Le possibili cause. Gli studenti interessati spiegano il fenomeno sostenendo che “questa materia non mi piace”, “non mi serve”, o “non l'ho più utilizzata”. Un'altra possibile causa è la seguente: lo studio è stato di tipo rituale, cioè è consistito nella memorizzazione puntigliosa delle nozioni da apprendere. Il rimedio. Svolgere uno studio sostanziale, mirando cioè all'idea intuitiva che sottostà alle enunciazioni formali della teoria.
I due ingredienti degli esercizi. Prima di andare avanti nella lettura, provate a domandarvi quali sono gli ingredienti che non devono mai mancare nello svolgimento di un esercizio, sia fatto a casa che in occasione di uno scritto d'esame. Ci avete pensato? Secondo me sono questi due: la risposta ed una motivazione. La maggioranza degli studenti da me interpellati ha posto in evidenza l'importanza di un sacco di altre cose, tranne quella che ritengo più importante: scrivere la risposta alla domanda che l'esercizio pone. Oltre alla risposta occorre scrivere anche una motivazione: cioè un ragionamento, ed eventualmente dei calcoli, che, elaborando i dati del problema per via logica e facendo appello alle nozioni possedute, portino in maniera convincente a rispondere alla domanda. Gli stessi ingredienti vanno utilizzati di fronte alle domande poste all'orale.
Come svolgere gli esercizi. Gli esercizi sono un ottimo mezzo per capire la matematica, ma spesso se ne fa un uso improprio, come risulta dalla seguente tabella.
Fare matematica. Voglio svelarvi un segreto. Sapete qual è il miglior libro di matematica, in assoluto? Non ci crederete, ma il miglior libro di matematica non è altro che una bella risma di fogli di carta bianca. Con questo libro, potete fare il re degli esercizi: sviluppare per iscritto un discorso matematico su di un argomento di vostro interesse, ponendovi da soli delle domande, cercando le risposte attraverso l'intuizione ed il calcolo, e sottoponendole a verifica. Questo è quello che si dice fare matematica. La maggior parte dei fogli, poi, la butterete, ed è per questo che non vi consiglio un quaderno per questo tipo di attività. Il risultato più importante sarà quello che resterà dentro di voi.
La commissione esaminatrice. Il rendimento ad un esame è legato non solo alla preparazione del candidato, ma anche al parere della commissione esaminatrice. Perciò vi consiglio di spendere una parte delle vostre energie per chiedervi che cosa gli esaminatori desiderano da voi. L'impresa non è facile anche perché intervengono alcuni elementi di disturbo, come ad esempio i seguenti.
Se, infine, l'esaminatore desidera qualcosa che contrasta nettamente con la vostra visione delle cose, potete trovarvi di fronte ad un problema anche grave, la cui discussione esula dai limiti di queste note.
Altre doti umane.
Ho ricevuto da parte di Alessandro Zuddas, che in quel momento era studente di Istituzioni di |